الف) عدد صحیحی بیابید که تفاضل آن از جذرش برابر نصف آن عدد باشد. مسئله چند جواب دارد؟
ب) عدد صحیحی بیابید که تفاضل جذرش از آن عدد برابر نصف آن باشد. مسئله چند جواب دارد؟
فرض می‌کنیم عدد صحیح مورد نظر $x$ باشد. چون جذر آن عدد در مسئله آمده، پس باید $x \ge 0$ باشد.
## الف) تفاضل عدد از جذرش برابر نصف عدد باشد
**۱. تشکیل معادله**:
$$x - \sqrt{x} = \frac{1}{2}x$$
**۲. حل معادله** (با شرط $x \ge 0$):
$$x - \frac{1}{2}x = \sqrt{x} \Rightarrow \frac{1}{2}x = \sqrt{x}$$
طرفین را به توان دو می‌رسانیم:
$$\left( \frac{1}{2}x \right)^2 = (\sqrt{x})^2 \Rightarrow \frac{1}{4}x^2 = x$$
$$\frac{1}{4}x^2 - x = 0$$
با فاکتورگیری:
$$x \left( \frac{1}{4}x - 1 \right) = 0$$
* **ریشهٔ اول**: $x_1 = 0$.
* **ریشهٔ دوم**: $\frac{1}{4}x - 1 = 0 \Rightarrow \frac{1}{4}x = 1 \Rightarrow x_2 = 4$.
**۳. بررسی جواب‌ها**:
* $x_1 = 0$: $0 - \sqrt{0} = 0$ و $\frac{1}{2}(0) = 0$. ($0 = 0$). **قابل قبول**.
* $x_2 = 4$: $4 - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$ و $\frac{1}{2}(4) = 2$. ($2 = 2$). **قابل قبول**.
**جواب‌ها**: $$0 \text{ و } 4$$
**تعداد جواب‌ها**: **دو** جواب.
---
## ب) تفاضل جذرش از آن عدد برابر نصف آن باشد
**۱. تشکیل معادله**:
$$x - \sqrt{x} = \frac{1}{2}x$$
**۲. حل معادله**:
همانند قسمت (الف) است و ریشه‌های آن $x_1 = 0$ و $x_2 = 4$ هستند.
**۳. بررسی جواب‌ها**:
هر دو جواب $0$ و $4$، اعداد صحیح مورد قبول هستند.
**جواب‌ها**: $$0 \text{ و } 4$$
**تعداد جواب‌ها**: **دو** جواب.
*(توضیح: هر دو قسمت یکسان هستند زیرا عبارت 'تفاضل $A$ از $B$' به معنی $B - A$ و عبارت 'تفاضل $A$ از $B$' نیز می‌تواند به معنی $A - B$ باشد. با این حال، در زبان فارسی عموماً 'تفاضل $A$ از $B$' به معنی $B - A$ است. اگر منظور 'تفاضل جذرش از آن عدد' به معنی $\sqrt{x} - x$ باشد، جواب متفاوت است: $\sqrt{x} - x = \frac{1}{2}x \Rightarrow \sqrt{x} = \frac{3}{2}x$. به توان دو $\Rightarrow x = \frac{9}{4}x^2 \Rightarrow \frac{9}{4}x^2 - x = 0 \Rightarrow x(\frac{9}{4}x - 1) = 0$. جواب‌ها $x=0$ و $x = \frac{4}{9}$. تنها $x=0$ صحیح است. با توجه به یکسان بودن متن قسمت الف و ب، فرض می‌کنیم هر دو عبارت به معنی $x - \sqrt{x}$ بوده است.)*
علی به همراه چند نفر از دوستان خود، ماهانه یک مجلهٔ ادبی ۱۶ صفحه‌ای منتشر می‌کنند. پس از حروف‌چینی مطالب، او معمولاً ۲ ساعت برای ویرایش ادبی مجله وقت صرف می‌کند. اگر رضا به او کمک کند، کار ویرایش حدود ۱ ساعت و ۲۰ دقیقه به طول می‌انجامد. حال اگر رضا بخواهد به تنهایی کار ویرایش یک شماره از مجله را انجام دهد، نیازمند چه میزان وقت خواهد بود؟
این مسئله، یک مسئلهٔ کاری است که در آن نرخ انجام کار (ویرایش) با هم جمع می‌شود.
**۱. تعیین نرخ کار**
کل کار: ویرایش یک مجله (۱ واحد کار).
* **علی (به تنهایی)**: زمان $= 2$ ساعت. نرخ کار علی ($R_{\text{علی}}$): $$R_{\text{علی}} = \frac{1 \text{ کار}}{2 \text{ ساعت}} = \frac{1}{2} \frac{\text{کار}}{\text{ساعت}}$$
* **علی و رضا (با هم)**: زمان $= 1$ ساعت و $20$ دقیقه $= 1 + \frac{20}{60} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ ساعت.
نرخ کار مشترک ($R_{\text{مشترک}}$): $$R_{\text{مشترک}} = \frac{1 \text{ کار}}{\frac{4}{3} \text{ ساعت}} = \frac{3}{4} \frac{\text{کار}}{\text{ساعت}}$$
* **رضا (به تنهایی)**: زمان $= t_{\text{رضا}}$. نرخ کار رضا ($R_{\text{رضا}}$): $$R_{\text{رضا}} = \frac{1}{t_{\text{رضا}}}$$
**۲. تشکیل معادلهٔ نرخ کار**
نرخ کار مشترک برابر با مجموع نرخ‌های فردی است:
$$R_{\text{علی}} + R_{\text{رضا}} = R_{\text{مشترک}}$$
$$\frac{1}{2} + \frac{1}{t_{\text{رضا}}} = \frac{3}{4}$$
**۳. حل معادله برای $t_{\text{رضا}}$**
$$\frac{1}{t_{\text{رضا}}} = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$$
$$\frac{1}{t_{\text{رضا}}} = \frac{1}{4} \Rightarrow t_{\text{رضا}} = 4$$
**۴. نتیجه**
زمان مورد نیاز رضا به تنهایی $4$ ساعت است.
**زمان مورد نیاز رضا**: $$4 \text{ ساعت}$$
اگر یک شیء از بالای ساختمانی به ارتفاع $h_0 = 50 \text{ متر}$ سقوط آزاد کند، پس از $t$ ثانیه در ارتفاع $h$ متری از سطح زمین قرار خواهد داشت؛ به طوری که $t = \sqrt{10 - \frac{h}{5}}$ باشد. دو ثانیه پس از سقوط در چه ارتفاعی نسبت به سطح زمین قرار دارد؟
فرمول داده شده، رابطهٔ بین زمان سقوط ($t$) و ارتفاع لحظه‌ای ($h$) را از سطح زمین نشان می‌دهد.
$$t = \sqrt{10 - \frac{h}{5}}$$
در اینجا، زمان داده شده $t = 2 \text{ ثانیه}$ است و ارتفاع مورد نظر ($h$) باید محاسبه شود.
**۱. جایگذاری $t = 2$ در معادله**
$$2 = \sqrt{10 - \frac{h}{5}}$$
**۲. حل معادله برای $h$**
طرفین را به توان دو می‌رسانیم:
$$2^2 = 10 - \frac{h}{5}$$
$$4 = 10 - \frac{h}{5}$$
$$\frac{h}{5} = 10 - 4 \Rightarrow \frac{h}{5} = 6$$
$$h = 6 \times 5 = 30$$
**۳. نتیجه**
دو ثانیه پس از سقوط، جسم در ارتفاع $30 \text{ متری}$ نسبت به سطح زمین قرار دارد.
**ارتفاع**: $$30 \text{ متر}$$
*(نکتهٔ جانبی: این ارتفاع از سقف ساختمان $50 - 30 = 20$ متر است.)*
معادله‌ای شامل مجموع دو عبارت رادیکالی بنویسید که عدد ۱ یکی از ریشه‌های آن باشد. پاسخ خود را با پاسخ دوستان خود مقایسه کنید.
برای ساختن چنین معادله‌ای، باید دو عبارت رادیکالی $\sqrt{A}$ و $\sqrt{B}$ را طوری در نظر بگیریم که مجموع آن‌ها برابر یک عدد ثابت یا عبارتی ساده از $x$ شود، و با قرار دادن $x=1$ در معادله، تساوی برقرار باشد.
**۱. انتخاب عبارات رادیکالی به ازای $x=1$**
فرض می‌کنیم معادله به فرم $\sqrt{A(x)} + \sqrt{B(x)} = C$ باشد.
ساده‌ترین انتخاب‌ها که به ازای $x=1$ اعداد صحیحی دهند:
* $\sqrt{x}$ که به ازای $x=1$ برابر $1$ می‌شود.
* $\sqrt{3x + 1}$ که به ازای $x=1$ برابر $\sqrt{4} = 2$ می‌شود.
**۲. تشکیل معادله**
می‌توانیم $\sqrt{x}$ و $\sqrt{3x + 1}$ را انتخاب کنیم. مجموع آن‌ها در $x=1$ برابر $1 + 2 = 3$ است. پس معادلهٔ پیشنهادی:
$$\sqrt{x} + \sqrt{3x + 1} = 3$$
**۳. بررسی ریشهٔ $x = 1$**
$$\sqrt{1} + \sqrt{3(1) + 1} = 1 + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3$$
چون $3 = 3$، تساوی برقرار است و $x=1$ یک ریشه است.
**معادلهٔ پیشنهادی**: $$\sqrt{x} + \sqrt{3x + 1} = 3$$
